Question

15．函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x（a∈R）的导函数是f'（x），若f'（x）是偶函数，则以下结论正确的是（　　）

• A． y=f（x）的图象关于y轴对称
• B． y=f（x）的极小值为-2
• C． y=f（x）的极大值为-2
• D． y=f（x）在（0，2）上是增函数

Answer 1

分析 先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f（-x）=f（x）建立等式关系，解之即可．

解答 解：对f（x）=x³+ax²+（a-3）x求导，
得f′（x）=3x²+2ax+a-3，
又f′（x）是偶函数，即f′（x）=f′（-x），
即3x²+2ax+a-3=3x²-2ax+a-3，
化简得a=0，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，即3x²-3=0，∴x=±1
令f′（x）＞0得函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）
令f′（x）＜0得函数的单调减区间为（-1，1）
∴函数在x=1时取得极小值为：-2，极大值为2
故选：B．

点评 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间与极值，解题的关键是利用函数的性质求出函数的解析式．