Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（2b-a）cosC=ccosA，c=3，$a+b=\sqrt{6}ab$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜C＜π，可求C的值．由余弦定理得（a+b）-3ab-9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 由于（2b-a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，
即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，
因为sinB≠0，所以cosC=$\frac{1}{2}$，因为0＜C＜π，所以C=$\frac{π}{3}$．由余弦定理得，a²+b²-ab=9，即（a+b）-3ab-9=0…①，
又$a+b=\sqrt{6}ab$…②，
将①式代入②得2（ab）²-3ab-9=0，解得 ab=$\frac{3}{2}$或ab=-1（舍去），
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
故选：A．

点评 题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．