Question

8．（1）已知a∈R且a≠0，试比较a与$\frac{1}{a}$的大小；
（2）解关于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0，a∈R．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，比较大小即可；
（2）求出对应方程（x-a）（ax-1）=0的根，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）若$a=\frac{1}{a}$，则a=±1；
当a＜-1时，$a＜\frac{1}{a}$；当-1＜a＜0时，$a＞\frac{1}{a}$；
当0＜a＜1时，$a＜\frac{1}{a}$；当a＞1时，$a＞\frac{1}{a}$；
（2）当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；
当a≠0时，若ax²-（a²+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，
则${x_1}=a，{x_2}=\frac{1}{a}$，
由第（1）问的结论，可知：
当a＜-1时，不等式的解集为$\{x|a＜x＜\frac{1}{a}\}$；
当-1＜a＜0时，不等式的解集为$\{x|\frac{1}{a}＜x＜a\}$；
当0＜a＜1时，不等式的解集为$\{x|x＞\frac{1}{a}$或x＜a}；
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a或$x＜\frac{1}{a}\}$；
当a=-1时，不等式的解集为ϕ；
当a=1时，不等式的解集为{x|x≠1}．

点评 本题考查了解二次不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．