Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$A（\sqrt{3}，0）$和点B（0，2），斜率为k（k≠0）的直线经过点P（2，0）且交E于M，N两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当△AOM与△AON面积比值为7，求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆E经过点$A（\sqrt{3}，0）$和点B（0，2），列出方程组，求出a=2，b=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）取立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}}\right.$，得（3k²+4）y²+16ky+4k²=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出实数k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$A（\sqrt{3}，0）$和点B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{4}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$．
（Ⅱ）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
取立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}}\right.$，得（3k²+4）y²+16ky+4k²=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{-16k}{{3{k^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{{4{k^2}}}{{3{k^2}+4}}}\end{array}}\right.$，且△=256k²-16k²（3k²+4）＞0，
解得0＜k²＜4，
$\frac{{{S_{△AOM}}}}{{{S_{△AON}}}}=\frac{y_1}{y_2}$，
∴y₁=7y₂$⇒\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=8{y_2}}\\{{y_1}{y_2}=7y_2^2}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{-16{k^{\;}}}}{{3{k^2}+4}}=8{y_2}}\\{\frac{{4{k^2}}}{{3{k^2}+4}}=7y_2^2}\end{array}}\right.$$⇒\frac{64}{{3{k^2}+4}}=\frac{64}{7}$，
解得实数k的值为±1．

点评 本题考查椭圆方程求法，考查满足条件的实数值的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．