Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=-24，a₁+a₅=-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设集合A={n∈N^*|S_n≤-24}，求集合A中的所有元素．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把a₁=-9，d=2代入等差数列的前n项和公式化简整理，然后解一元二次不等式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₅=-10，S₄=-24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=-10}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=-24}\end{array}\right.$，
解得a₁=-9，d=2，
∴a_n=-9+2（n-1）=2n-11；
（Ⅱ）${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d=-9n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-10n，
由n²-10n≤-24，整理得n²-10n+24≤0，解得4≤n≤6．
∴集合A={n∈N^*|S_n≤-24}中的所有元素为4，5，6．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了一元二次不等式的解法，是中档题．