Question

7．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b．
（1）若f（x）＜0的解集为（-1，3），求a，b的值；
（2）当a=1时，若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当b=a时，解关于x的不等式f（x）＜0（结果用a表示）．

Answer 1

分析 （1）将x=-1，3代入f（x）=0，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）将a=1代入函数的解析式，根据二次函数的性质求出b的范围即可；
（3）问题转化为x²-（a+1）x+a＜0，即（x-1）（x-a）＜0，通过讨论a的范围求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x）＜0的解集是（-1，3），
∴x²-（a+1）x+b=0的两个根是-1，3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{（-1）}^{2}-（a+1）（-1）+b=0}\\{{3}^{2}-（a+1）•3+b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-3；
（2）a=1时，f（x）=x²-2x+b，
∵?x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴△=（-2）²-4b≤0，解得：b≥1，
故b的范围是[1，+∞）；
（3）b=a时，f（x）＜0即x²-（a+1）x+a＜0，
∴（x-1）（x-a）＜0，
a＜1时，a＜x＜1，a=1时，x∈∅，
a＞1时，1＜x＜a，
综上，a＜1时，不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}，
a=1时，不等式f（x）＜0的解集是∅，
a＞1时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜a}．

点评 本题考查了二次不等式和二次方程的关系，考查解一元二次不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．