Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，m）为其上一点，且|MF|=4．
（1）求p与m的值；
（2）如图，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，求直线OA、OB的斜率之积．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得p的方程，求得p和抛物线的方程，以及m的值；
（2）求出抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，求得交点A，B，可得斜率之积；直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y=k（x-2），联立抛物线的方程，消去x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和直线的斜率公式，计算即可得到所求之积．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为$F（\frac{p}{2}，0）$，准线为$x=-\frac{p}{2}$．
由抛物线定义知：点M（2，m）到F的距离等于M到准线的距离，
故$|MF|=2+\frac{p}{2}=4$，
∴p=4，抛物线C的方程为y²=8x
∵点M（2，m）在抛物线C上，
∴m²=16，即m=±4
∴p=4，m=±4；
（2）证明：由（1）知：抛物线C的方程为y²=8x，焦点为F（2，0）
若直线l的斜率不存在，
则其方程为：x=2，代入y²=8x，
易得：A（2，4），B（2，-4），
从而${k_{OA}}{k_{OB}}=\frac{4-0}{2-0}×\frac{-4-0}{2-0}=-4$；
若直线l的斜率存在，设为k（k≠0），则其方程可表示为：y=k（x-2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$，消去x，得：$y=k（\frac{1}{8}{y^2}-2）$，
即ky²-8y-16k=0（k≠0），△=64+64k²＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y_1}{y_2}=\frac{-16k}{k}=-16$，
∴${x_1}{x_2}=（\frac{1}{8}{y_1}^2）（\frac{1}{8}{y_2}^2）=\frac{1}{64}{（{y_1}{y_2}）^2}=\frac{1}{64}×{（-16）^2}=4$，
从而${k_{OA}}{k_{OB}}=\frac{{{y_1}-0}}{{{x_1}-0}}×\frac{{{y_2}-0}}{{{x_2}-0}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{-16}{4}=-4$．
综上所述：直线OA、OB的斜率之积为-4．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．