Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），P为椭圆上一点，|PF₁|=|F₁F₂|，直线PF₁与y轴交于点M，F₂M为∠PF₂F₁的角平分线，求离心率．

Answer 1

分析 由题意可得|PF₁|=|F₁F₂|=2c，由椭圆的定义可得|PF₂|=2a-2c，由内角平分线性质定理可得$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{|PM|}{|M{F}_{1}|}$=$\frac{2a-2c}{2c}$=$\frac{a-c}{c}$，可得|MF₁|=$\frac{2{c}^{2}}{a}$，分别在△MF₁F₂中和△PF₁F₂中，运用余弦定理，可得a，c的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由F₁（-c，0）、F₂（c，0），
P为椭圆上一点，|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=2a-2c，
F₂M为∠PF₂F₁的角平分线，
可得$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{|PM|}{|M{F}_{1}|}$=$\frac{2a-2c}{2c}$=$\frac{a-c}{c}$，
又|PM|+|MF₁|=|PF₁|=2c，
解得|MF₁|=$\frac{2{c}^{2}}{a}$，
由对称性可得|MF₂|=$\frac{2{c}^{2}}{a}$，
在△MF₁F₂中，cos∠MF₁F₂=$\frac{（\frac{2{c}^{2}}{a}）^{2}+（2c）^{2}-（\frac{2{c}^{2}}{a}）^{2}}{2•\frac{2{c}^{2}}{a}•2c}$
=$\frac{a}{2c}$，
在△△PF₁F₂中，cos∠PF₁F₂=$\frac{（2c）^{2}+（2c）^{2}-（2a-2c）^{2}}{2•2c•2c}$
=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}+2ac}{2{c}^{2}}$，
由于cos∠MF₁F₂=cos∠PF₁F₂，
可得c²+ac-a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²+e-1=0，
解得e=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）．
则椭圆的离心率为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，以及内角平分线的性质定理，三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．