Question

4．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x₁、x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，且f（1）=0，则f（2017）=（　　）

• A． 4032
• B． 2016
• C． 2017
• D． 4034

Answer 1

分析 运用赋值法，分别求出f（2），f（3），f（4），总结规律得到f（n）=2n-2，由此能求出f（2017）的值．

解答 解：f（1）=0，
f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴f（n）=2n-2．
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，f（1）=2×1-2=0，结论成立．
（2）假设n=k时，结论成立，即f（k）=2k-2，
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k-2+2=2k，
结论也成立，
由（1）、（2）知，f（n）=2n-2．
∴f（2017）=2×2017-2=4032．
故选：A．

点评 本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法，归纳猜想并证明，考查运算能力和推理能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意总结规律．