Question

4．在数列{a_n}中，a₃=12，a₁₁=-5，且任意连续三项的和均为11，则a₂₀₁₇=4；设S_n是数列{a_n}的前n项和，则使得S_n≤100成立的最大整数n=29．

Answer 1

分析 将a_n+a_n+1+a_n+2=11中n换为n+1，可得数列{a_n}是周期为3的数列．求出a₂=-5，a₁=4，即可得到a₂₀₁₇=a₁，讨论n为3的倍数或余1或余2，计算n的最大值，即可得到所求值．

解答 解：由题意可得a_n+a_n+1+a_n+2=11，
将n换为a_n+1+a_n+2+a_n+3=11，
可得a_n+3=a_n，
可得数列{a_n}是周期为3的数列．
a₃=12，a₁₁=-5，即有a₂=-5，a₁=11-12+5=4，
可得a₂₀₁₇=a_3×672+1=a₁=4；
当n=3k，k为自然数，时，S_n=11k；
当n=3k+1，k为自然数时，S_n=11k+4；
当n=3k+2，k为自然数时，S_n=11k+4-5=11k-1；
使得S_n≤100成立，
由11k≤100，可得k的最大值为9，此时n=27；
由11k+4≤100，可得k的最大值为8，此时n=25；
由11k-1≤100，可得k的最大值为9，此时n=29．
则使得S_n≤100成立的最大整数n为29．
故答案为：4，29．

点评 本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．