Question

14．如图，在直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，二面角A-A₁B-C是直二面角，AB=BC═2，点M是棱CC₁的中点，三棱锥M-BCA₁的体积为1．
（I ）证明：BC丄平面ABA₁
（II）求平面ABC与平面BCA₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过A在平面ABA₁内作AH⊥A₁B，垂足为H则AH丄平面CBA₁，从而BC⊥AA₁，由此能证明BC丄平面ABA₁．
（Ⅱ）AB⊥面BCM，以B为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABC与平面BCA₁所成角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）过A在平面ABA₁内作AH⊥A₁B，垂足为H，
∵二面角A-A₁B-C是直二面角，且二面角A-A₁B-C的棱为A₁B．
∴AH丄平面CBA₁，∴BC⊥AH，
由直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中有BC⊥AA₁，
且AH∩AA₁=A，∴BC丄平面ABA₁ （5分）
解：（Ⅱ）∵棱锥M-BCA₁的体积为1，由（1）得AB⊥面BCM，
∴VA₁-BCM=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{S}_{△BCM}×AB=1$，
解得CM=$\frac{3}{2}$，即CC₁=3，
以B为原点，如图建立空间直角坐标系
则 M（2，O，$\frac{3}{2}$），C（2，0，0），A₁（0，2，3），
$\overrightarrow{BM}$=（2，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，2，3），
设平面BCA₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，-3，2）．
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，3），
设平面ABC与平面BCA₁所成角为θ，
则cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{13}•3}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故平面ABC与平面BCA₁所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．