Question

3．求下列各式的值：
（1）$\frac{1}{{sin{{10}°}}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{cos{{10}°}}}$；
（2）$\frac{{sin{{50}°}（{1+\sqrt{3}tan{{10}°}}）-cos{{20}°}}}{{cos{{80}°}\sqrt{1-cos{{20}°}}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的余弦公式化简求值即可；
（2）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简求值即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{{sin{{10}°}}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{cos{{10}°}}}$=$\frac{cos10°-\sqrt{3}sin10°}{sin10°cos10°}$=$\frac{2（\frac{1}{2}cos10°-\frac{\sqrt{3}}{2}sin10°）}{\frac{1}{2}sin20°}$
=$\frac{4cos（10°+60°）}{sin20°}=\frac{4sin20°}{sin20°}=4$；
（2）$\frac{{sin{{50}°}（{1+\sqrt{3}tan{{10}°}}）-cos{{20}°}}}{{cos{{80}°}\sqrt{1-cos{{20}°}}}}$=$\frac{\frac{sin50°}{cos10°}（cos10°+\sqrt{3}sin10°）-cos20°}{cos80°\sqrt{2si{n}^{2}10°}}$
=$\frac{2\frac{cos40°}{cos10°}sin（10°+30°）-cos20°}{\sqrt{2}si{n}^{2}10°}$=$\frac{\frac{sin80°}{cos10°}-cos20°}{\sqrt{2}si{n}^{2}10°}=\frac{1-cos20°}{\frac{\sqrt{2}}{2}（1-cos20°）}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．