Question

18．设F₁，F₂分别为双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点，点F₂关于渐近线的对称点恰好落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径圆上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出F₂到渐近线的距离，利用F₂关于渐近线的对称点恰落在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），
则F₂到渐近线bx-ay=0的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=b．
设F₂关于渐近线的对称点为M，F₂M与渐近线交于A，
∴|MF₂|=2b，A为F₂M的中点，
又O是F₁F₂的中点，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂为直角，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²，
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．