Question

13．已知公比为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*），首项a₁=3，前n项和为S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{n{a_n}}}{6}，求数列\left\{{b_n}\right\}的前n项和{T_n}$．

Answer 1

分析 （1）设公比为q＞0，由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{n{a}_{n}}{6}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）依题意公比为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*），首项a₁=3，
设a_n=3q^n-1，
因为S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列，
所以2（S₅+a₅）=S₃+a₃+S₄+a₄，
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化简得4a₅=a₃，
从而4q²=1，解得q=±$\frac{1}{2}$，
因为{a_n}（n∈N^*）公比为正数，
所以q=$\frac{1}{2}$，a_n=6×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N*；          
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n}}{6}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．