Question

5．已知向量$\overrightarrow p=（{2，-1}），\overrightarrow q=（{x，2}）$，且$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$，则$|{\overrightarrow p+λ\overrightarrow q}|（{λ∈R}）$的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，由向量$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$的坐标以及$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$，分析可得$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2x-2=0，解可得x=1，进而可得$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$=（2+λ，-1+2λ），由向量模的计算公式可得|$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{（2+λ）^{2}+（-1+2λ）^{2}}$=$\sqrt{5{λ}^{2}+5}$，由二次函数的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow p=（{2，-1}），\overrightarrow q=（{x，2}）$，且$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$，
则$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2x-2=0，解可得x=1，
即$\overrightarrow{q}$=（1，2），则$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$=（2+λ，-1+2λ），
则|$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{（2+λ）^{2}+（-1+2λ）^{2}}$=$\sqrt{5{λ}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$，
即$|{\overrightarrow p+λ\overrightarrow q}|（{λ∈R}）$的最小值为$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积的性质、二次函数的单调性，关键是求出x的值．