Question

10．已知函数f（x）=-$\frac{2+a{x}^{2}}{{e}^{x}}$（a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于-$\frac{7}{e}$，则a的取值范围是（　　）

• A． （2，5]
• B． （2，+∞）
• C． （1，4}
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数f（x）在[0，1]有极值，以及函数f（x）的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{a（x-1）}^{2}+2-a}{{e}^{x}}$，
若f（x）在[0，1]上有极值，
则$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）＞0}\\{f′（1）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{2＞0}\\{2-a＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞2，
f（x）在[0，1]先递增再递减，
故f（x）_min=f（1）=-$\frac{2+a}{e}$≥-$\frac{7}{e}$，解得：a≤5，
故a∈（2，5]，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．