Question

直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a的值为

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   1或
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：由直线与曲线相切，根据直线已知，即可得出切线斜率，即得出曲线的导数的方程，再设出切点坐标，利用切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可．
解答：设切点P（x₀，x₀）
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′=3x²-6x+a =3x₀²-6x₀+a
根据切线的几何意义得：
3x₀²-6x₀+a=1①
∵点P在曲线上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②联立得
③或 ④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或 ，把x₀的值代入④中，得到a=1或 ，
综上所述，a的值为1或 ．
故选C．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．