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    如图，P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    (1)证明：P—ABC为正四面体；

    (2)若PD=PA, 求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示)

    (3)设棱台DEF—ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

     

    答案：
    解析：

    【证明】(1) ∵棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等,

       ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.　　 又∵截面DEF∥底面ABC,

       ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P—ABC是正四面体.

     【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.

       ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

       则∠DMA为二面角D—BC—A的平面角.

       由(1)知,P—ABC的各棱长均为1,

       ∴PM=AM=,由D是PA的中点,得

      sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

    (3)存在满足条件的直平行六面体.

      棱台DEF—ABC的棱长和为定值6,体积为V.

      设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,

      则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.

      ∵正四面体P—ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)

    故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.

     

     


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