Question

11．三边长均为正整数，且最大边长为11的钝角三角形的个数是14．

Answer 1

分析 根据题意，设另外两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，分析可得要构成钝角三角形，必须x+y＞11且x²+y²＜11²，进而可得6≤y≤11，按y的大小分类讨论，依次求出每一种情况下的钝角三角形的数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，设另外两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，
要构成钝角三角形，必须x+y＞11且x²+y²＜11²，
分析必有6≤y≤11，按y的大小分类讨论：
当y取值11时，三角形为等腰三角形，不能组成钝角三角形；
当y取值10时，x可取的值为2、3、4，可以组成3个钝角三角形；
当y取值9时，x可取的值为3、4、5、6，可以组成4个钝角三角形；
当y取值8时，x可取的值为4、5、6、7，可以组成4个钝角三角形；
当y取值7时，x可取的值为5、6、7，可以组成3个钝角三角形；
当y取值6时，三角形为等腰三角形，不能组成钝角三角形；
∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为3+4+4+3=14个，
故答案为：14．

点评 本题考查分类计数原理的运用，注意结合余弦定理分析三角形为钝角三角形的条件．