Question

7．已知函数f（x）=e^x-x²-1，x∈R．
（1）求证：f（x）≥-x²+x；
（2）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而证明结论；
（2）问题转化为$\frac{f（x）}{x}＞k$对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令$ϕ（x）=\frac{f（x）}{x}，x＞0$，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 证明：（1）令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，
由g'（x）=e^x-1=0得x=0，
当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）_min=g（0）=0，从而f（x）≥-x²+x；
解：（2）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立
?$\frac{f（x）}{x}＞k$对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令$ϕ（x）=\frac{f（x）}{x}，x＞0$，
∴$ϕ'（x）=\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}=\frac{{x（{e^x}-2x）-（{e^x}-{x^2}-1）}}{x^2}=\frac{{（x-1）（{e^x}-x-1）}}{x^2}$，
由（1）可知当x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0恒成立，
令φ'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0得0＜x＜1，
∴φ（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴k＜φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴实数k的取值范围为（-∞，e-2）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．