Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为正常数，n=2，3，4…）．
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设{a_n}公比为f（t），作数列b_n使，试求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

Answer 1

（1）证明：∵a₁=1，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2，n∈N^*）①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②两式相减得

又n=2时，

∴a_n是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）解：∵，∴，∴
∴b_n是以1为首项，为公差的等差数列，∴
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₄）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=．
分析：（1）因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*），所以在3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t的基础上，用n-1替换n构造与它类似的关系式；然后利用作差法求出a_n与a_n-1的关系式，进而可整理为等比数列形式；但不要忘掉未含项的检验．
（2）由（1）知{a_n}的公比f（t），又b_n=f（），则可找到b_n与b_n-1的关系，进而可整理为等差数列形式；则由等差数列通项公式可求b_n；代数式b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1的求值，可利用分组的方法，把它转化到等差数列的性质与前n项和公式上去，则问题解决．
点评：若数列{a_n}的前n项和为S_n，则a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*）是实现前n项和S_n向通项a_n转化的桥梁与纽带，进而可结合等差数列、等比数列的定义与性质解决问题．