Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上
（I）当AE：EA₁=1：2时，求证DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在点E，使二面角D-BE-A等于60°若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：如图，

连结DC₁，因为ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，
又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE．
因为AE：EA₁=1：2，AB=1，，所以，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC₁中，，
所以，即ED⊥DC₁，
所以ED⊥平面BDC₁，又BC₁?面BDC₁，所以ED⊥BC₁．
（Ⅱ）解：存在点E，使二面角D-BE-A等于60°．
事实上，假设存在点E满足条件，设AE=h．
取A₁C₁的中点D₁，连结DD₁，则DD_1⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，
分别以DA、DB、DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，，0），E（1，0，h），
所以，，，．
设平面DBE的一个法向量为，
则，，令z₁=1，得x₁=-h，所以，
再设平面ABE的一个法向量为，
则，，令y₂=1，得，所以．
所以=．解得．
故存在点E，当AE=时，二面角D-BE-A等于60°．
分析：（Ⅰ）由D为正三角形ABC的中点，得到BD⊥AC，再由两面垂直的性质得到BD⊥面ACC₁A₁，继而BD⊥DE，在平面ACC₁A₁中利用解三角形求出∠ADE与∠CDC₁的值，从而得到ED⊥DC₁，则由ED⊥面BDC₁，则DE⊥BC₁；
（Ⅱ）假设存在点E，使二面角D-BE-A等于60°，设出AE的长度，利用二面角的两个半平面的法向量所成角为60°求出h的值，若h的值在[0，]内则说明点E存在，否则不存在．
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，训练了存在性问题的求解方法，对于存在性问题，在假设结论成立的前提下进行推理，得到与已知的条件，公理、定理等相符的式子，则假设成立，否则不成立．此题是中档题．