Question

【题目】已知函数，.

（1）若在区间上恒成立，求a的取值范围.

（2）对任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）讨论与的大小去掉绝对值，然后分类讨论讨论导数符号研究函数在，的单调性，从而求出函数的最小值，使的最小值恒大于等于，求出的取值范围；

（2）根据（1）的分类讨论求出函数的最小值，使的最小值恒小于等于的最小值，从而求出的取值范围．

（1）①当时，，，，恒成立，

在，上增函数，故当时，（e）

②当时，，，

当即时，在时为正数，所以在区间，上为增函数，

故当时，，且此时

当，即时，在时为负数，在间，时为正数，

所以在区间，上为减函数，在，上为增函数，故当时，，

且此时（e）

当，即时，在时为负数，所以在区间，上为减函数，

故当时，（e）

综上所述，函数的最小值为

所以当时，得；当时，无解；

当时，得不成立．

综上，所求的取值范围是

（2）①当时，在，单调递增，需满足，

解得

②当时，在，先减后增，需满足，即

因为单调递减，所以

因此

③当时，在递增，在递减，在，递增，

所以需满足，即，

设，

则，，所以递增，且，

所以恒成立，即不成立，舍去．

④当时，在递增，在递减，在，递增，

所以需满足即，

因为，所以不成立，舍去．

综上，所求的取值范围是