Question

（本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.

已知数列满足且点在二次函数的图像上.

（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．

Answer 1

（1） 是，理由祥见解析；（2） 证明祥见解析，；（3）k=2,m=3.

【解析】

试题分析：（1）利用“平方递推数列”的定义判断即可；

（2）利用（1）的结论，由等比数列的定义即可得证，进而由等比数列的通项公式即可写出通项公式；

（3）由无穷等比数列的各项和公式可得关于m,k的方程，由于m,k都是正整数，所以对m的取值进行分类讨论：当时代入方程可知矛盾，，从而得到或2，然后再分别讨论即可求得m,k的值．

试题解析：（1）答：数列是算术平方根递推数列.

理由：在函数的图像上，

，.

又，

∴．

∴数列是算术平方根递推数列.

证明（2） ，

.

又,

数列是首项为,公比的等比数列.

.

（3）由题意可知，无穷等比数列的首项,公比，

．

化简，得．

若，则.这是矛盾！

.

又时，,

.

.

考点：1. 等比关系的确定;2.无穷等比数列的各项和;3.不定方程．