Question

【题目】函数（，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数 与函数只有唯一一个交点，由，，可得函数 与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数的取值范围．

解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：

函数 与函数只有唯一一个交点，

，，

函数 与函数唯一交点为，

又，且，，

在上恒小于零，即在上为单调递减函数，

又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，

可得函数 与函数的大致图象如图：

要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，

， ，

，解得，

又，

实数的范围为．

故选：．