Question

14．如图，已知等腰梯形ABCD为⊙O的内接四边形，AB∥CD，PA=AB=2CD=2，PA⊥平面ABCD，已知E为PA的中点，连接DE．
（1）证明：DE∥平面PBC；
（2）求二面角D-BC-P的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结DO，EO，推导出AB∥CD，四边形BCDO为平行四边形，从而DO∥BC，进而平面DEO∥平面PBC，由此能证明DE∥平面PBC．
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BC-P的正弦值．

解答 证明：（1）连结DO，EO，
∵等腰梯形ABCD为⊙O的内接四边形，AB∥CD，PA=AB=2CD=2，
E为PA的中点，连接DE．
∴OE∥PB，DC$\underset{∥}{=}$OB，∴四边形BCDO为平行四边形，∴DO∥BC，
∵EO∩DO=O，PB∩BC=B，EO、DO?平面DEO，
PB、BC?平面PBC，
∴平面DEO∥平面PBC，
∵DE?平面DEO，∴DE∥平面PBC．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（1，0，2），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，3），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角D-BC-P的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角D-BC-P的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．