Question

19．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．
（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=$\frac{3π}{4}$，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；
（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．

Answer 1

分析 （1）由直线l的倾斜角α=$\frac{3π}{4}$，可得直线l的极角θ=$\frac{3π}{4}$，或θ=$\frac{7π}{4}$．代入圆E的极坐标方程即可得出．
（2）由（1）可得：线段OA的中点M$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|即可证明．

解答 解：（1）∵直线l的倾斜角α=$\frac{3π}{4}$，
∴直线l的极角θ=$\frac{3π}{4}$，或θ=$\frac{7π}{4}$．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ
可得：$ρ=2\sqrt{2}$或ρ=-2$\sqrt{2}$（舍去）．
∴l与圆E的交点A的极坐标为$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$．
（2）由（1）可得：线段OA的中点M$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得直角坐标M（-1，1）．
又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²-4y=0，
设直线l的参数方向为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆的方程可得：t²-2t（sinα+cosα）-2=0，△＞0，
∴t₁t₂=-2．
∴|MB|•|MC|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=2，为定值．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数求值、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．