Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，na_n=S_n+2n（n-1），n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在正整数n使得S1+

S2

2

+…+ 

Sn

n

 -(n-1)2=2009？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过na_n=S_n+2n（n-1），写出当n≥2时（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），通过作差，证明数列{a_n}为等差数列，即可求出{a_n}的通项公式a_n；
（2）求出了的前n项和，求出

Sn

n

的表达式．然后利用等差数列求和，利用等式求出n的值即可．

解答：解：（1）因为na_n=S_n+2n（n-1），
当n≥2时（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
两式作差，有（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4n-4，
⇒a_n-a_n-1=4，
又a₁=1，所以a_n=4n-3；
（2）由（1）可知数列是等差数列，
所以S_n=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1）⇒

Sn

n

=2n-1，
假设存在n满足题设条件，则（2-1）+（2×2-1）+（2×3-1）+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，
1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）²=2009，

n(1+2n-1)

2

-（n-1）²=2009，
即2n-1=2009，所以n=1005．

点评：本题考查数列的判断与证明，通项公式的求法，前n项和的求法，考查计算能力．