【题目】已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1) 的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)
【解析】
(1)当时,,判断其正负号则单调性可求;(2)法一:由(1)得进而,放缩不等式为当时,,构造函数求解即可;法二:分离a问题转化为,求最值即可求解
(1)函数的定义域为,.
当时,,
令,则,
因为在上单调递增,且,
所以当时,;当 时,;
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以,即,仅当时取等号.
所以当时,;当时,;
所以的单调递减区间是,单调递增区间是.
(2)解法一.
由(1)知,
所以当时,,得,
当时,,
令,
由(1)知,,所以,满足题意.
当时,,不满足题意.
所以的取值范围是.
解法二:
由(1)知,
所以当时,,得,
由,得,
问题转化为,
令,则,
因为,(仅当时取等号),,
所以当时,;当时,;
所以的单调递减区间是,单调递增区间是,
所以,
所以的取值范围是.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年,两年共招收学生2000人,其中有300人参与学习先修课程,两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分),结果如下表所示:
分数 | |||||
人数 | 20 | 55 | 105 | 70 | 50 |
参加自主招生获得通过的概率 | 0.9 | 0.8 | 0.6 | 0.5 | 0.4 |
(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系,根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | |||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 |
(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为,求.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式:,其中.
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【题目】2015年“双十一”当天,甲、乙两大电商进行了打折促销活动,某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额,得到了消费金额的频数分布表如下:
甲电商:
消费金额(单位:千元) | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5] |
频数 | 50 | 200 | 350 | 300 | 100 |
乙电商:
消费金额(单位:千元) | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5] |
频数 | 250 | 300 | 150 | 100 | 200 |
(Ⅰ)根据频数分布表,完成下列频率分布直方图,并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小(其中方差大小给出判断即可,不必说明理由);
(Ⅱ)(ⅰ)根据上述数据,估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中,消费金额小于3千元的概率;
(ⅱ)现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位,记消费金额小于3千元的人数为X,试求出X的期望和方差.
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【题目】已知椭圆C:过点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率,且圆经过椭圆C的上、下顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相切,且与椭圆相交于M,N两点,证明:的面积为定值(O为坐标原点).
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【题目】如图,直线与抛物线(常数)相交于不同的两点、,且(为定值),线段的中点为,与直线平行的切线的切点为(不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点).
(1)用、表示出点、点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积,证明的面积与、无关,只与有关;
(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连、,再作与、平行的切线,切点分别为、,小张马上写出了、的面积,由此小张求出了直线与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由.
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【题目】给出下列命题
(1)若一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线共面;
(2)若三条直线两两平行,那么这三条直线共面;
(3)若直线与直线异面,直线与直线异面,那么直线与直线异面;
(4)若直线与直线垂直,直线与直线垂直,那么直线与直线平行;
其中正确的命题个数有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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