Question

14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，定义：△F₁BF₂为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点$F（{\sqrt{3}，0}）$是椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点，且C₁上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．
（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且C₂与C₁的相似比为2：1，求椭圆C₂的方程；
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线${x^2}=\frac{1}{mn}y$异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x²-4y²=1上；
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线C_b上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意c=$\sqrt{3}$，a=2，则b²=a²-c²=1，即可求得椭圆C₁的方程，根据相似比2，a₂=4；b₂=2，即可求得椭圆C₂的方程；
（2）由题设条件知$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}=1$，设点Q（x₀，y₀），由题设条件能推出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{m}}\\{{y}_{0}=\frac{n}{m}}\end{array}\right.$，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=n{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{2}=\frac{1}{mn}{y}_{0}}\end{array}\right.$，即可求得4x²-4y²=1；
（3）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，相似比为b，则椭圆C_b的方程，由题意：只需C_b上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可．设BD：y=-x+m，代入椭圆方程，设BD中点为E（x₀，y₀），然后利用根与系数的关系进行求解．

解答 解：（1）椭圆的一个焦点为$F（{\sqrt{3}，0}）$，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴b²=a²-c²=1，则椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
设C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$，相似比为2，a₂=4；b₂=2，
∴椭圆C₂：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）证明：点P（m，n）在椭圆上，则$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}=1$，设点Q（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=n{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{2}=\frac{1}{mn}{y}_{0}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{m}}\\{{y}_{0}=\frac{n}{m}}\end{array}\right.$，
∴4x₀²-4y₀²=$\frac{4}{{m}^{2}}$-$\frac{4{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{4（1-{n}^{2}）}{{m}^{2}}$=$\frac{4×\frac{{m}^{2}}{4}}{{m}^{2}}$=1，
∴点Q在双曲线4x²-4y²=1上
（3）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，相似比为b，则椭圆C_b的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
由题意：只需C_b上存在两点B、D关于直线y=x+1对称即可
设BD：y=-x+m，设BD中点为E（x₀，y₀），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，5x²-8mx+4m²-4b²=0，
△=64m²-16×5×（m²-b²）＞0，5b²＞m²，
由韦达定理知：x₀=$\frac{4m}{5}$，y₀=-x₀+m=$\frac{1}{5}$m，
E（x₀，y₀）在直线y=x+1上，
则$\frac{1}{5}$m=$\frac{4m}{5}$+1
解得：m=-$\frac{5}{3}$，∴b²＞$\frac{9}{5}$，则b＞$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
此时正方形的边长为$\frac{丨BD丨}{\sqrt{2}}$，
∴正方形的面积为S=f（b）=（$\frac{丨BD丨}{\sqrt{2}}$）²，
丨BD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$$\sqrt{5{b}^{2}-\frac{25}{9}}$，
∴函数S=f（b）的解析式：$f（b）=\frac{16}{5}{b^2}-\frac{16}{9}$，定义域为$b＞\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，综合考查椭圆的性质及其综合应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误，属于中档题．