Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

an
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an+1

an

=

n+1

2n

，由此利用累乘法能求出a_n．
（2）由S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

an，
∴

an+1

an

=

n+1

2n

，∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

2

2

×

3

4

×

4

6

×…×

n

2n-2

=

n

2n+1

．
（2）S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

2n+2

=

1

2

-

1

2n+1

-

1

2n+2

，
∴S_n=1-

1

2n

-

1

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．