Question

如图，海警观察站设在海岸A处，某天值班海警发现北偏东60°方向，距离A处10

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海里的B处有一艘走私船，于是给缉私船一号和缉私船二号下命令，让两艘船一起围追该走私船，接到命令后，一号缉私船在A处北偏西30°方向，距离A处10海里的C处以10

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海里每小时的速度追截走私船，二号缉私船在A的正东方向，距离A处20海里的D处以v海里每小时速度追截走私船，走私船正以10海里每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
（Ⅰ）两缉私船在接到命令时，相距多少海里；
（Ⅱ）若一号缉私船和二号缉私船恰好能以最短的时间同时追上走私船，求最短时间和二号缉私船的速度v．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,解三角形

分析：（Ⅰ）由题意，AC=10海里，AD=20海里，∠CAD=120°，利用余弦定理，可得结论；
（Ⅱ）先求出BC，再利用余弦定理计算最短时间和二号缉私船的速度v．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，AC=10海里，AD=20海里，∠CAD=120°，
∴CD=

100+400-2×10×20×(- 1 2 )

=10

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海里；
（Ⅱ）∵AC=10海里，AB=10

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海里，∠CAB=90°，
∴BC=20，
设在E处追上，最短时间为t，则CE=10

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t，BE=10t，∠CBE=120°，
∴（10

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t）²=400+（10t）²-2•20•10t•cos120°，
∴t²-t-2=0，
∴t=2，
∵BC=AD，BC∥AD，
∴BD=AC=10海里，
在△BDE中，BD=10海里，BE=20，∠BDE=120°，DE=2v，则
（2v）²=10²+20²-2•10•20•cos120°，
∴v=15海里每小时．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理的运用，正确计算是关键．