Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，以坐标原点O为圆心，半径为c（c为椭圆的半焦距）的圆O与直线l：y=-

2

x+3相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆O的公共点为M，与椭圆C的公共点为N，求△OMN的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）可设圆O的方程为x²+y²=c²，根据圆O到直线的距离等于半径c可求c值，由离心率可得a，再由b²=a²-c²可求得方程；
（Ⅱ）由

y=- 2 x+3 x2 4 +y2=1

得9x2-24

2

x+32=0，解出可得N点坐标，从而可得|ON|、|OM|，由沟谷定理可得|MN|，利用三角形面积公式可求△OMN的面积．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，圆O的方程为x²+y²=c²，
于是可得圆心O（0，0）到直线l：y=-

2

x+3的距离为c，即有

3

3

=c，c=

3

，
又∵e=

c

a

=

3

2

，∴a=2，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由

y=- 2 x+3 x2 4 +y2=1

得9x2-24

2

x+32=0，
设N（x₁，y₁），
则x1=

4 2

3

，y1=

1

3

，由直线与椭圆相切，知M为切点，
∴|ON|=

x12+y12

=

33

3

，
又|OM|=

3

，
∴|MN|=

|ON|2-|OM|2

=

33 9 -3

=

6

3

，
∴S△OMN=

1

2

•|MN||OM|=

1

2

×

6

3

×

3

=

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程性质、直线与圆锥曲线的位置关系、三角形面积公式，考查方程思想、数形结合思想，考查学生运算求解能力，准确运算是解决该类题目的基础．