Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[1，3]，f（x）=2-|x-2|，则下列结论中正确的是（　　）

• A、f（sin

  π

  6

  ）＜f（cos

  π

  6

  ）
• B、f（sin1）＞f（cos1）
• C、f（cos

  2π

  3

  ）＜f（sin

  2π

  3

  ）
• D、f（cos2）＞f（sin2）

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：数形结合,转化思想,函数的性质及应用

分析：注意到选择支中函数值对应的自变量取值都在[-1，1]内，所以应该先结合周期性用当x∈[1，3]时的解析式，求出x∈[-1，1]的解析式，然后借助于其图象解决问题．

解答： 解：设x∈[-1，1]，则x+2∈[1，3]，由题意知此时f（x）=f（x+2）=2-|x+2-2|=2-|x|，
这是一个偶函数，图象关于y轴对称，且当0≤x≤1时，f（x）=2-x是减函数，所以当-1≤x≤0时f（x）是增函数，
在[-1，1]上，自变量的绝对值越小，函数值越大，
因为0＜|sin

π

6

|＜|cos

π

6

|＜1，|cos

2π

3

|＜|sin

2π

3

|，所以排除A、C；
又因为0＜cos1=sin(

π

2

-1)＜sin1＜1，所以排除B，
故选D

点评：关于函数值的大小比较问题，一般是利用奇偶性、周期性、对称性等把不同单调区间上函数值转化到同一单调区间上进行比较，能够利用图象直观判断的就尽量利用图象．