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    定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
    x
    3
    ）=
    1
    2
    f（x），且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f（
    1
    2014
    ）的值为（　　）
    A、
    1
    256
    B、
    1
    128
    C、
    1
    64
    D、
    1
    32
    考点：抽象函数及其应用
    专题：函数的性质及应用
    分析：由已知f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
    x
    3
    ）=
    1
    2
    f（x），可以求出f（1）=1，及f（
    1
    3
    ）=f（
    2
    3
    )    =
    1
    2
    ，再反复利用f（
    x
    3
    ）=
    1
    2
    f（x），得到f（
    1
    2187
    ）=f（
    2
    2187
    ）=
    1
    128
    ，最后利用当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2）得到f（
    1
    2014
    ）=
    1
    128
    ．（因为不能利用f（1）=1及f（
    x
    3
    ）=
    1
    2
    f（x）直接求出f（
    1
    2014
    ），所以考虑利用两边夹的方法求f（
    1
    2014
    ）．）
    解答： 解：由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，可得f（0）+f（1-0）=1，所以f（1）=1，
    因为f（
    x
    3
    ）=
    1
    2
    f（x），所以f(
    1
    3
    )=
    1
    2
    ，f(
    2
    3
    )=
    1
    2

    且f（x）=2f（
    x
    3
    ）=22f（
    x
    32
    ）=23f（
    x
    33
    ）=…=2nf（
    x
    3n
    ），
    所以f(
    1
    3
    )    =26f（
    1
    37
    ）=26f（
    1
    2187
    ），同理f（
    2
    3
    ）=26f(
    2
    37
    )    =26f（
    2
    2187
    ），
    所以f（
    1
    2187
    ）=f（
    2
    2187
    ）=
    1
    128
    ，
    又因为
    1
    2187
    ＜
    1
    2014
    ＜
    2
    2187
    ，由已知，所以f(
    1
    2187
    )≤f(
    1
    2014
    )≤f(
    2
    2187
    )    ，
    所以f(
    1
    2014
    )=
    1
    128
    ．
    故选B
    点评：这道题考查了抽象函数，运用了赋值法、迭代法、两边夹的性质求解，对学生的逻辑推理能力有很高的要求，有一定难度．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A在第二象限，且点A的横坐标与纵坐标之比为-
    1
    2
    ，则
    cos2α-sin2α
    sin2α+2cos2α
    的值为（　　）
    A、-
    1
    2
    B、
    8
    5
    C、
    5
    6
    D、-
    1
    6

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    执行如图的程序框图，若M=
    7
    8
    ，则输出的n=（　　）
    A、2B、3C、4D、5

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某学校推荐甲、乙、丙、丁4名同学参加A、B、C三所大学的自主招生考试．每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐一名．则不推荐甲同学到A大学的推荐方案有（　　）
    A、24种B、48种
    C、54种D、60种

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[1，3]，f（x）=2-|x-2|，则下列结论中正确的是（　　）
    A、f（sin
    π
    6
    ）＜f（cos
    π
    6
    ）
    B、f（sin1）＞f（cos1）
    C、f（cos
    2π
    3
    ）＜f（sin
    2π
    3
    ）
    D、f（cos2）＞f（sin2）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况，从中随机抽取了16名男同学和14名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．   
    （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：
    喜爱运动 不喜爱运动 总计
    男 16
    女 14
    总计 30
    （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与喜爱运动有关？
    （3）将以上统计结果中的频率视作概率，从我市中学生中随机抽取3人，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：
    P（K2≥k0） 0.40 0.25 0.10 0.010
    k0 0.708 1.323 2.706 6.635

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设P（x0，y0）为椭圆
    x2
    4
    +y=1内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于A，C和B，D，若AB∥CD．
    （Ⅰ）证明：直线AB的斜率为定值；
    （Ⅱ）过点P作AB的平行线，与椭圆交于E，F两点，证明：点P平分线段EF．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    甲、乙两人玩一种猜拳游戏，游戏规则如下：每人只出一只手（有5个手指头），每次出手指数为0，1，2，3，4，5是等可能的，猜拳一次只猜“单”与“双”两个结果．规定：两人手指数之和为偶数则规定猜“双”者获胜，手指数之和为奇数视为猜“单”者获胜，两人都猜中与两人都没猜中视为平局，获胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，只要有人累计得分达到4分或者4分以上，则游戏结束．
    （1）求甲、乙两人猜拳一次，甲获胜的概率；
    （2）求游戏结果时，甲累计得分恰好为4分的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，锐角α和钝角β的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A、B两点，角α的终边与射线y=x（x≥0）重合，点B的纵坐标为
    3
    5
    ．
    （1）求sin（β-α）；
    （2）D为OB边上的一点，且AD=
    		37
    5
    ，求△AOD的面积．

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