Question

设P（x₀，y₀）为椭圆

x2

4

+y=1内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于A，C和B，D，若AB∥CD．
（Ⅰ）证明：直线AB的斜率为定值；
（Ⅱ）过点P作AB的平行线，与椭圆交于E，F两点，证明：点P平分线段EF．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

得到

x3= (1+λ)x0-x1 λ y3= (1+λ)y0-y1 λ

，再由点C在椭圆上，即可得到

[(1+λ)x0-x1]2

4λ2

+

[(1+λ)y0-y1]2

λ2

=1，又由点A在椭圆上以及AB∥CD，得到x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，又易知不与坐标轴平行，即得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到直线EF的方程为y=-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀，代入椭圆方程整理得到

x02+4y02

16y02

x2-

x0 (x 2 0 +4 y 2 0 )

8 y 2 0

x+

x 2 0

2

+

y

2 0

-1=0，即得到xE+xF=-

- x0( x 2 0 +4 y 2 0 ) 8 y 2 0

x 2 0 +4 y 2 0 16 y 2 0

=2x，故得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），

AP

=λ

PC

，
则

x0-x1=λ(x3-x0) y0-y1=λ(y3-y0)

，∴

x3= (1+λ)x0-x1 λ y3= (1+λ)y0-y1 λ

，
∵点C在椭圆上，∴

x 2 3

4

+y

2 3

=1，
即

[(1+λ)x0-x1]2

4λ2

+

[(1+λ)y0-y1]2

λ2

=1，
整理得(1+λ)2(

x 2 0

4

+

y

2 0

)-

1

2

(1+λ)(x0x1+4y0y1)+(

x 2 1

4

+

y

2 1

)=λ2+(

x 2 1

4

+

y

2 1

)=λ2，
又点A在椭圆上，∴

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，
从而可得(1+λ)2(

x 2 0

4

+

y

2 0

)-

1

2

(1+λ)(x0x1+4y0y1)=λ2-1=λ²-1   ①
又∵AB∥CD，故有

BP

=λ

PD

．
同理可得(1+λ)2(

x 2 0

4

+

y

2 0

)-

1

2

(1+λ)(x0x2+y0y2)=λ2-1   ②
②-①得
x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，
∵P点不在坐标轴上，∴x₀≠0，y₀≠0，
又易知不与坐标轴平行，∴直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

4y0

，为定值；
（Ⅱ）直线EF的方程为y=-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀，
代入椭圆方程得

x2

4

+[-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀]²=1，
整理得到

x02+4y02

16y02

x2-

x0 (x 2 0 +4 y 2 0 )

8 y 2 0

x+

x 2 0

2

+

y

2 0

-1=0，
∴xE+xF=-

- x0( x 2 0 +4 y 2 0 ) 8 y 2 0

x 2 0 +4 y 2 0 16 y 2 0

=2x，
故EP=PF．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．