Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）=-1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间[-1，7]上所有实根之和是

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）是奇函数，且满足f（2-x）=f（x），推出函数的周期性，然后判断方程f（x）=-1在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程f（x）=1在区间[-1，7]上所有实根之和．

解答： 解：由f（2-x）=f（x）知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
下面证明f（x）是一个周期函数，
由f（x）是R上的奇函数知f（2-x）=-f（x-2），f（x-4）=-f（4-x）
在f（2-x）=f（x）中，以x-2代x得：
f（2-（x-2））=f（x-2）即f（4-x）=f（x-2），
所以f（x）=f（2-x）=-f（4-x）=f（x-4）
即f（x+4）=f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数．
考虑f（x）的一个周期，例如[-1，3]，
由f（x）在[0，1）上是减函数知f（x）在（1，2]上是增函数，
f（x）在（-1，0]上是减函数，f（x）在[2，3）上是增函数．
对于奇函数f（x）有f（0）=0，f（2）=f（2-2）=f（0）=0，
故当x∈（0，1）时，f（x）＜f（0）=0，当x∈（1，2）时，f（x）＜f（2）=0，
当x∈（-1，0）时，f（x）＞f（0）=0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）=0，
方程f（x）=-1在[0，1）上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，
则由于f（2-x）=f（x），故方程f（x）=-1在（1，2）上有唯一实数．
在（-1，0）和（2，3）上f（x）＞0，
则方程f（x）=-1在（-1，0）和（2，3）上没有实数根．
从而方程f（x）=-1在一个周期内有且仅有两个实数根．
当x∈[-1，3]，方程f（x）=-1的两实数根之和为x+2-x=2，
当x∈[-1，7]，方程f（x）=-1的所有四个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12．
故答案为：12．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性等函数的重要性质，还考查了方程根的问题，综合性较强，解题的关键是根据奇偶性和对称性得出周期性．