Question

已知函数f（x）=

ax2-2x-1  x≥0 x2+bx+c  x＜0

为偶函数，直线y=x+m与函数y=f（x）的图象有四个不同的交点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质，建立方程关系，即可求出a，b，c的值，然后利用数形结合即可的结论．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
若x＜0，则-x＞0，
此时f（-x）=ax²+2x-1=x²+bx+c，
即a=1，b=2，c=-1，
则f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

，
作出函数f（x）的图象如图：
平移直线y=x+m，
由图象可知当直线y=x+m经过点（0，-1）时，此时两个函数有3个交点，此时m=-1，
当直线y=x+m在第三象限与y=x²+2x-1相切时，此时两个函数也只有3个交点，
由y′=2x+2=1，解得x=-

1

2

，此时y=（-

1

2

）²+2（-

1

2

）-1=-

7

4

，
即切点坐标为（-

1

2

，-

7

4

），此时m=-

7

4

-（-

1

2

）=-

5

4

，
∴要使两个函数有4个不同的交点，则m∈(-

5

4

，-1)，
故答案为：(-

5

4

，-1)

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用函数的奇偶性，求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想，综合性较强．