Question

求过两点A(1，4)、B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程，并判断点P(2，4)与圆的关系．

Answer 1

解：(解法1)(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r².

∵ 圆心在y＝0上，故b＝0.

∴ 圆的方程为(x－a)²＋y²＝r².

∵ 该圆过A(1，4)、B(3，2)两点，

∴解之得a＝－1，r²＝20.

∴ 所求圆的方程为(x＋1)²＋y²＝20.

(解法2)(直接求出圆心坐标和半径)∵ 圆过A(1，4)、B(3，2)两点，∴ 圆心C必在线段AB的垂直平分线l上．∵ k_AB＝＝－1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圆心在直线y＝0上，故圆心坐标为C(－1，0)．∴ 半径r＝|AC|＝＝.故所求圆的方程为(x＋1)²＋y²＝20.又点P(2，4)到圆心C(－1，0)的距离为d＝|PC|＝＝>r.

∴ 点P在圆外．