Question

在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，且AC=2，则

AB

•

AC

的最大值

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质,平面向量数量积的运算,三角函数的和差化积公式

专题：三角函数的图像与性质

分析：由A，B，C成等差数列易得B，由余弦定理可得3²=a²+c²-ac，结合基本不等式可得结论．

解答： 解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

，
设角A，B，C的对边为a，b，c，由正弦定理得：c=

bsinC

sinB

=

4 3

3

sinC，
所以

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=bccosA=

8 3

3

sinCcos(

2π

3

-C)=

4 3

3

[sin

2π

3

-sin(

2π

3

-2C)]
=2-

4 3

3

sin(

2π

3

-2C)
=2+

4 3

3

sin（2C-

2π

3

），
C∈（0，

2π

3

），2C-

2π

3

∈(-

2π

3

，

2π

3

)，
当2C-

2π

3

=

π

2

时，

AB

•

AC

取得最大值：2+

4 3

3

．
故答案为：2+

4 3

3

．

点评：本题考查的知识点是解三角形，平面向量的综合题，本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S，与已知的S相等，化简得到tanC的值．要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值．