Question

7．设等比数列{a_n}前n项和为S_n，若S₁₀：S₅=1：2，则$\frac{{{S_5}+{S_{10}}+{S_{15}}}}{{{S_{10}}-{S_5}}}$=$-\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的前n项和公式，先求出q⁵=-$\frac{1}{2}$，然后代入即可．

解答 解：∵S₁₀：S₅=1：2≠2：1，
∴q≠1，
则$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}}$=$\frac{1-{q}^{10}}{1-{q}^{5}}$=1+q⁵=$\frac{1}{2}$，
则q⁵=-$\frac{1}{2}$，
则$\frac{{{S_5}+{S_{10}}+{S_{15}}}}{{{S_{10}}-{S_5}}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{15}）}{1-q}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{10}）}{1-q}-\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}}$
=$\frac{3-{q}^{5}-{q}^{10}-{q}^{15}}{{q}^{5}-{q}^{10}}$=$\frac{3-（-\frac{1}{2}）-（-\frac{1}{2}）^{2}-（-\frac{1}{2}）^{3}}{-\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$=$-\frac{9}{2}$，
故答案为：$-\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用，考查学生的运算能力．