Question

10．化简：
（1）$\frac{sin15°-cos15°}{sin15°+cos15°}$；
（2）$\frac{cos2x}{sinx+cosx}$-$\frac{cos2x}{sinx-cosx}$．
（3）$\frac{cos2α-cos2β}{cosα-cosβ}$．

Answer 1

分析 （1）把原式分子、分母同除以cos15°，然后再利用两角差的正切公式可求．
（2）将分子利用倍角公式化简，利用平方差公式即可化简得解．
（3）先利用和差化积公式化简，再由二倍角公式，积化和差公式化简即可得解．

解答 解：（1）把原式分子、分母同除以cos15°，
有$\frac{sin15°-cos15°}{sin15°+cos15°}$=$\frac{tan15°-1}{tan15°+1}$=$\frac{tan15°-tan45°}{tan15°tan45°+1}$
=tan（15°-45°）
=tan（-30°）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$\frac{cos2x}{sinx+cosx}$-$\frac{cos2x}{sinx-cosx}$=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{sinx+cosx}$-$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{sinx-cosx}$=cosx-sinx+sinx+cosx=2cosx．
（3）$\frac{cos2α-cos2β}{cosα-cosβ}$=$\frac{-2sin（α+β）sin（α-β）}{-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}}$=4cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=2（cosα+cosβ）．

点评 本题主要考查了三角函数化简求值中的技巧：形如$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$①及sin²α±sinαcosα±cos²α②，对于①在分子、分母上同除以cosα，对于②常通过分母添上1=sin²α+cos²α，然后在分子、分母上同除以cos²α把弦化切，还考查了两角差的正切公式的应用，和差化积，积化和差公式的应用，属于中档题．