Question

1．若函数f（x）=（x²+bx+b）$\sqrt{1-2x}$（b∈R）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上单调递增，则b的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• B． [$\frac{1}{9}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{9}$）
• D． （$\frac{1}{9}$，+∞）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，$\frac{1}{3}$）上大于等于0恒成立，得到b≤$\frac{2-5x}{3}$对任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．由单调性求出$\frac{2-5x}{3}$的范围得答案．

解答 解：由f（x）=（x²+bx+b）$\sqrt{1-2x}$，得：f′（x）=$\frac{-5{x}^{2}-3bx+2x}{\sqrt{1-2x}}$．
由f（x）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上单调递增，
得f′（x）≥0对任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．
即-5x²-3bx+2x≥0对任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．
∴b≤$\frac{2-5x}{3}$对任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．
∵$\frac{2-5x}{3}$＞$\frac{2-5×\frac{1}{3}}{3}$=$\frac{1}{9}$．
∴b≤$\frac{1}{9}$．
∴b的取值范围是（-∞，$\frac{1}{9}$]，
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，是中档题．