Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{sin\frac{π}{3}x，3≤x≤9}\end{array}\right.$，若存在实数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$的取值范围是（18，20.25）．

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，可得ab=1，再由正弦函数的对称性，可得c+d=15，6＜c＜7.5．由二次函数的值域求法，即可得到所求范围．

解答 解：画出函数f（x）的图象，
可知|log₃a|=|log₃b|，
即有-log₃a=log₃b，即为ab=1，
当x=7.5时，f（x）=sin$\frac{5π}{2}$=1，
即有c+d=15，6＜c＜7.5．
则$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$=（c-3）（d-3）=（c-3）（12-c）
=-c²+15c-36=-（c-7.5）²+20.25．
即有区间（6，7.5）为增区间，
即有$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$∈（18，20.25）．
故答案为：（18，20.25）．

点评 本题考查分段函数的应用，考查对数函数和三角函数的图象的运用，同时考查二次函数的性质及正弦函数的对称性，属于中档题．