Question

从⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0外一点P向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）
（1）|PT|的最小值为多少？
（2）|PT|取得最小值时点P的坐标为？

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）如图所示，⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化为（x-3）²+（y-4）²=1，圆心C（3，4），半径r=1．设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．由切线的性质可得：CT⊥PT，利用|PT|=

|PC|2-r2

及其|PT|=|PO|，
可得3x+4y-12=0．因此|PT|²=x²+y²=x2+(

12-3x

4

)2=

25

16

(x-

36

25

)2+

144

25

，再利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由（1）可得：当x=

36

25

＜2，y=

12-3× 36 25

4

时，|PT|取得最小值．即可得出．

解答： 解：（1）如图所示，
⊙C：x²+y²-6x-8y+24=0化为（x-3）²+（y-4）²=1，
圆心C（3，4），半径r=1．
设P（x，y），x∈（-∞，2）∪（4，+∞）．
∵CT⊥PT，
∴|PT|=

|PC|2-r2

=

(x-3)2+(y-4)2-1

．
∵|PT|=|PO|，
∴

x2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2-1

．
化为3x+4y-12=0．
∴|PT|²=x²+y²=x2+(

12-3x

4

)2
=

25

16

(x-

36

25

)2+

144

25

，
当x=

36

25

＜2时，|PT|²取得最小值

144

25

，即|PT|取得最小值

12

5

．
（2）由（1）可得：当x=

36

25

＜2，y=

12-3× 36 25

4

=

48

25

时，|PT|取得最小值．
∴P(

36

25

，

48

25

)．

点评：本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．