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    对于函数y=f（x），定义：若存在非零常数M、T，使函数f（x）对定义域内的任意实数x，都满足f（x+T）-f（x）=M，则称函数y=f（x）是准周期函数，常数T称为函数y=f（x）的一个准周期．如函数f（x）=x+（-1）x（x∈Z）是以T=2为一个准周期且M=2的准周期函数．
    （1）试判断2π是否是函数f（x）=sinx的准周期，说明理由；
    （2）证明函数f（x）=2x+sinx是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M的值；
    （3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图象．
    分析：（1）根据已知中准周期函数的定义，根据f（x）=sinx，结合正弦函数的周期性，我们可得f（x+2π）-f（x）=0恒成立，不满足准周期函数的定义，进而得到结论；
    （2）令T=2π，结合函数f（x）=2x+sinx，我们易得f（x+2π）-f（x）=4π恒成立，结合已知中准周期函数的定义，即可得到函数f（x）=2x+sinx是准周期函数，进而求出它的一个准周期和相应的M的值；
    （3）结合（2）中函数的特点，我们可得y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合，均为准周期函数．
    解答：解：（1）∵f（x）=sinx，
    ∴f（x+2π）-f（x）=sin（x+2π）-sinx=sinx-sinx=0，
    ∴2π不是函数f（x）=sinx的准周期．
    证明：（2）∵f（x+2π）-f（x）=[2（x+2π）+sin（x+2π）]-（2x+sinx）=2x+4π+sinx-2x-sinx=4π（非零常数），
    ∴函数f（x）=sinx是准周期函数，T=2π是它的一个准周期，相应的M=4π．
    解：（3）①写出一个不同于题设和（2）中函数，
    如y=3x+sinx，y=2x+（-1）x，y=2x+3sinx，y=[x]等 得（1分）y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得（3分）
    ②指出所写出函数的一个准周期，得（2分）
    ③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…，
    （写出一条得（1分），两条以上得（2分），可以不证明）
    ④画出其大致图象．    得（3分）
    部分参考图象：
    点评：本题考查的知识点是周期函数，其中正确理解已知中的新定义--准周期函数，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答本题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+
    π
    2
    )    为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
    ①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（-π，0）是它图象的一个对称中心；
    ④当x=
    π
    2
    时，它一定取最大值；其中描述正确的是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列五个命题：
    ①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；
    ②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；
    ③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x0，当x＞x0 时，有2x＞x2成立；
    ④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．
    ⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．
    其中正确的序号是
    ③⑤
    ③⑤
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•和平区一模）函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设F（x）=f2（x）+f2（-x），则对于函数y=F（x）有如下四种说法：①定义域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函数；④在定义域内单调递增．其中正确的说法是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海模拟）对于函数y=f（x）的图象上任意两点A（a，f（a）），B（b，f（b）），设点C分
    AB
    的比为λ（λ＞0）．若函数为f（x）=x2（x＞0），则直线AB必在曲线AB的上方，且由图象特征可得不等式
    a2+λb2
    1+λ
    ＞(
    a+λb
    1+λ
    )    2    ．若函数为f（x）=log2010x，请分析该函数的图象特征，上述不等式可以得到不等式
    log2010a+log2010b
    1+λ
    ＜log2010
    a+λb
    1+λ
    log2010a+log2010b
    1+λ
    ＜log2010
    a+λb
    1+λ
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．若实数a，b满足f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，则点（a，b）所在区域的面积为（　　）
    A、8B、4C、2D、1

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