Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a． （Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣9x的导数为f′（x）=3x2﹣9， f（0）=0，f′（0）=﹣9，直线l的方程为y=﹣9x，
设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），
g′（x）=6x，g′（m）=6m=﹣9，解得m=﹣ ，
g（m）=﹣9m，即g（﹣ ）= +a= ，
解得a= ；
（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，
F′（x）=3x2﹣6x﹣9，
由F′（x）=0，可得x=3或x=﹣1．
当x＜﹣1时，F′（x）＞0，F（x）递增；
当﹣1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）递减；
当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）递增．
可得x=﹣1时，F（x）取得极大值，且为5﹣a，
x=3时，F（x）取得极小值，且为﹣27﹣a，
因为当x→+∞，F（x）→+∞；x→﹣∞，F（x）→﹣∞．
则方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为：
5﹣a＞0，﹣27﹣a＜0，
解得﹣27＜a＜5
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数和切线的斜率和方程，设l与曲线y=g（x）相切于点（m，n），求出g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得a的值；（Ⅱ）记F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．