Question

【题目】如图（1）所示，在直角梯形ABCD中， ，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图（2）所示．
（1）证明：CD⊥平面A1OC；
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在图（1）中，因为 ，E是AD的中点，且 ，

所以BE⊥AC，BE∥CD，

即在图（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC=O，OA1平面A1OC，OC平面A1OC，

从而BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，所以CD⊥平面A1OC

（2）解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且交线为BE，

又由（1）知，BE⊥OA1，所以OA1⊥平面BCDE，

如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设 ，所以 ，

得 ．

设平面A1BC的法向量 ，平面A1CD的法向量 ，

平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，

则 得 ，取 ，同理，取 ，

从而 ，

即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，即可证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．