Question

【题目】如图四棱锥P﹣ABCD底面是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1， ，E是BC上的点，

（1）试确定E点的位置使平面PED⊥平面PAC，并证明你的结论；
（2）在条件（1）下，求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，

若平面PED⊥平面PAC，

则需要ED⊥平面PAC，

即ED⊥AC即可．

∵PA=AB=1， ，

∴P（0，0，1），D（0， ，0），B（1，0，0），

C（1， ，0），

设BE=a，则E（1，a，0），

则 =（1， ，0）， =（﹣1， ﹣a，0），

由 =（1， ，0）（﹣1， ﹣a，0）=0，

得﹣1+ （ ﹣a）=0，得a= ，即E是BC的中点．

（2）解：在条件（1）下，即E是BC的中点，则E（1， ，0），

则 =（1， ，﹣1）， =（0， ，0）， =（﹣1， ，0），

设平面BPE的法向量 =（x，y，z），平面PED的法向量 =（x，y，z），

则由 得 ，即 ，令x=1，则z=1，即 =（1，0，1），

则由 得 ，令y= ，则x=1，z=2即 =（1， ，2），

则cos＜ ， ＞|= = = = ，

∵二面角B﹣PE﹣D是钝二面角，

∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明ED⊥AC即可．（2）求出平面的法向量利用向量法即可求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的性质，掌握两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即可以解答此题．