Question

【题目】某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市． 设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．
（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得 ，∴ ①

由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至 14个小时之间，即9≤x+y≤14②

因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）

（2）解：∵p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y，上式表示斜率为 的直线，

当动直线p=131﹣3x﹣2y通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A时，p值最小．

由 得 ，即当x=10，y=4时，p最小．

此时，v=25，w=30，p的最小值为 93元

【解析】（1）由路程，速度，时间的关系得出x，y与v，w的关系式，由v，w得范围即可得x，y的范围，再由到达时间范围即可得到不等式组，作图即可；（2）利用线性规划知识易求．